Математики доказывают неравенства Харди-Литтлвуда-Соболева
Математики Университета РУДН доказали неравенства Харди-Литтлвуда-Соболева (ЗОЖ) для класса обобщенных потенциалов Рисса. Эти результаты расширяют область применения этих потенциалов в математике и физике, поскольку основные инструменты для работы с такими потенциалами основаны на неравенствах HLS. Новые математические инструменты могут значительно упростить вычисления в квантовой механике и других областях физики. Результаты исследования опубликованы в журнале «Mathematical Notes».
Современная физика описывает мир в терминах полей и их потенциалов, то есть значений поля в каждой точке. Но физические величины, которые мы можем измерить, - это силы и ускорения, то есть производные второго порядка потенциала соответствующего поля. Задача восстановления конфигурации поля по имеющимся значениям сил и ускорений, наблюдаемым в экспериментах, сложна и не всегда аналитически разрешима. Операции дифференцирования в многомерном пространстве - операторы обычно используются для описания корреляции между потенциалом поля и силами. В частности, электромагнитные и гравитационные взаимодействия описаны на языке операторов.
Поскольку потенциал поля может быть определен с точностью до постоянной величины, для удобства расчетов начальное значение потенциала берется в некоторой точке многомерного пространства или на границе любой пространственной области. Но в некоторых случаях математические модели таких полей приводят к сингулярности, то есть в некоторых точках значение поля становится бесконечным и, следовательно, теряет свой физический смысл.
Вагиф Гулиев, научный сотрудник Никольского института математики Университета РУДН, и его коллеги работали над разработкой методов, позволяющих восстанавливать конфигурацию потенциала поля, используя только аналитические методы.
Математики университета РУДН изучили один из важных случаев развития квантовой теории - необходимые и достаточные условия ограниченности потенциала Рисса, порожденного дифференциальным оператором Гегенбауэра в весовых пространствах Лебега Lp, λ. Их исследование развивает и дополняет более раннее доказательство теоремы Харди-Литтлвуда-Соболева для потенциала Гегенбауэра.
Операторы, определенные потенциалами Рисса, имеют много применений в физике - потенциалы Рисса включают, например, электростатический потенциал.
Доказательство неравенства Харди-Литтлвуда-Соболева для обобщенных потенциалов Рисса означает, что физики и математики имеют инструмент, который поможет им заранее, до проведения трудоемких расчетов, определить, можно ли аналитически рассчитать конфигурацию поля с имеющимися значениями сил, а не получить сингулярность.
Результаты исследования могут быть использованы в физике для определения условий, при которых возможно восстановление пространственной картины физических полей различной природы, например, в области квантовой электродинамики.
Источник: