Что такое двойной маятник?

Двойной маятник — это просто два маятника, соединенных один с другим. Эта система демонстрирует теорию хаоса и то, как небольшие изменения приводят к большим изменениям.

Двойной маятник — это настолько простая система, что ее может сделать пятиклассник. Но эта система и ее движение сложны и чрезвычайно интригующе.

То, как движется двойной маятник, демонстрирует хаос — идею, которая гораздо больше, чем она есть, и имеет далеко идущие последствия.

Что такое двойной маятник?

Простой маятник - это масса, подвешенная к неподвижной точке. Мы видим его в маятниковых часах, которые неустанно показывают нам время. Он дает нам колебательное движение, которое легко проследить. Вы толкаете его, он колеблется туда-сюда, пока силы трения не заставят его остановиться в положении равновесия.

Двойной маятник — это именно то, на что он похож. Это простая система, состоящая из маятника, к концу которого прикреплен другой маятник.

Движение двойного маятника не так просто, как движение простого маятника.

Простой маятник против двойного маятника

Простой маятник совершает колебательное движение и приходит в состояние равновесия. Это так же точно, как восход солнца на востоке, если можно так выразиться.

Если построить график движения маятника, его угол наклона от вертикали по оси x и скорость по оси y, то получится закручивающаяся внутрь спираль. Можно варьировать начальные условия и делать спираль меньше или больше. Но в конечном итоге спираль заканчивается в одном и том же положении. Этот график называется фазовым пространством.

Рассмотрим идеальный вариант простого маятника - точечная масса, подвешенная на безмассовом стержне. Трение и сопротивление воздуха не учитываются. Постройте график и получите петлю. Неважно, какова амплитуда маятника, это будет просто петля другого размера.

Не имеет значения, как вы изменяете начальные условия. Если у вас есть трение, маятник всегда будет приходить в покой в начале спирали. В противном случае она будет продолжать двигаться по замкнутой петле.

Это означает, что движение простого маятника предсказуемо. А вот двойной маятник как раз не предсказуем.

Почему двойной маятник, а не простой? Простой маятник имеет только одну степень свободы. Двойной маятник имеет две степени свободы. Для решения задач о движении двойного маятника нам нужны дифференциальные уравнения, зависящие от начальных условий. Это дает нам ингредиенты для хаоса.

Движение двойного маятника

Траектория движения двойного маятника выглядит безумно и является в некотором роде беспорядочной. Для малых углов двойной маятник также дает нам простое гармоническое движение. Но при больших смещениях все обстоит иначе. Вы даже можете попробовать симуляцию живого маятника здесь.

Мы можем описать движение двойного маятника с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы обращаемся к лагранжевой механике, чтобы выяснить уравнения движения двойных маятников.

Это может показаться непонятным. Если у нас есть уравнения движения, почему система должна быть непредсказуемой? Решив уравнения, мы получим возможность предсказать движение маятника, верно?

Но проблема в том, что система двойного маятника чрезвычайно зависима от начальных условий. Если мы не можем определить начальные условия со 100% уверенностью (а в физике мы не разбрасываемся процентами), мы не можем предсказать поведение системы.

Поскольку невозможно достичь такого уровня уверенности, мы не можем предсказать движение двойного маятника. Два двойных маятника, выпущенные из одной и той же точки одновременно, будут иметь незначительные различия в начальных условиях. Это приведет к резкому изменению траектории за очень короткое время. Разница в их траекториях будет расти быстро и экспоненциально.

Сложность двойного маятника по сравнению с одинарным также напоминает пресловутую проблему трех тел. Вы можете предсказать поведение двух тел, которые влияют друг на друга. Но добавьте еще одно, и система станет слишком сложной.

Двойной маятник и теория хаоса

Двойной маятник — одна из самых простых демонстраций теории хаоса. Одной из определяющих характеристик хаоса является чувствительность к изменению начальных условий.

В приведенном ниже видеоролике автор создал симуляцию 500 двойных маятников с небольшими различиями в начальных углах. Под незначительными мы подразумеваем миллионные доли радиана. Два соседних двойных маятника изначально отличаются только на одну миллионную долю радиана. Они начинают двигаться по одинаковым траекториям. Но, как вы можете видеть, через несколько секунд их пути резко расходятся.

Это происходит из-за хаотической природы системы.

Здесь следует отметить, что эта система хаотична, но не случайна. Она просто очень, очень чувствительна к начальным условиям. Если у вас есть два двойных маятника с совершенно одинаковыми начальными условиями, они пройдут один и тот же путь. Система просто очень неумолима даже к крошечным изменениям.

Но в действительности невозможно выпустить два двойных маятника с одинаковыми начальными условиями. И, следовательно, невозможно предсказать путь, который проделает маятник.

Это взгляд на то, как работают все хаотические системы. Двойной маятник демонстрирует, как мы не можем делать точные предсказания относительно хаотических систем.

Когда множество примеров собраны вместе, хаотические системы, такие как двойной маятник, образуют узоры - фракталы.

Непредсказуемость мира

Мы видим, как хаотическое поведение делает такую простую систему, как два шарика на двух нитях, практически непредсказуемой. Какие узоры могли бы образовать миллион двойных маятников, выпущенных вместе? А тройные маятники?

Наш мир состоит из множества таких хаотических систем. Даже наша Солнечная система демонстрирует хаотическое поведение, если рассматривать более длительные периоды времени. На примере двойного маятника мы видим теорию хаоса и то, как трудно предсказать окружающий нас мир.